Límite de una función.

 

NOCIÓN   INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.

 

Sea la función “F” definida por:  ; 

 

El único punto en el cual F(x) no está definida es en x =1, pero, en puntos tan cercanos a 1 como se quiera, la función se encuentra definida. Esta situación da lugar a la siguiente pregunta: ¿Se aproxima F(x) a algún valor específico, cuando x se aproxima a 1?

Para ello factorando la expresión obtenemos:

En las tablas siguientes se hace un seguimiento  de F(x), cuando   x se aproxima a 1 por la izquierda (valores menores que 1) y por la derecha de 1 (valores mayores que 1).

Valores por la izquierda:

X	0	0.3	0.5	0.75	0.9	0.99	0.995	0.999	0.9995	0.9999	1
Y	1	1.6	2	2.5	2.8	2.9	2.98	2.998	2.999	2.9998	No esta definida

Valores por la derecha:

X	1	1.0005	1.001	1.005	1.01	1.05	1.1	1.25	1.5	1.7	2
Y	No esta definida	3.001	3.002	3.01	3.02	3.1	3.2	3.5	4	4.4	2

Grafica de la función:

Observando “EL GRAFICO” se  sugiere una  respuesta a la  pregunta formulada antes. Note que a medida que los valores de x, se "acercan" a 1, sin tomar el valor de 1, los valores de F(x) se "acercan" a 3. Dándole a la palabra límite un significado intuitivo, se dice que:

 El "límite" de la función F(x) es 3 cuando x tiende a 1., lo que se escribe:

De una manera más general, pero conservando el significado intuitivo de la palabra "límite", se dice que: 

Si se puede hacer que F(x) este tan "cerca" de L como se quiera, haciendo que x este suficientemente "cerca" de a, pero siendo distinta de a.

 Ejemplo:
Suponga que se quiere calcular : 

 de manera intuitiva.

Como puede notarse cuando x = 2,  la  función,  no está definida, pues:

La división entre cero , no está permitida.

Esta situación en el  cálculo de límites,  en algunas ocasiones no interesa, ya que a veces es importante conocer el comportamiento de la función el las proximidades de ese valor, en este caso, en las proximidades de 2.

Veamos que ocurre:

X

-1

0

1

1.5

1.9

1.99

1.999

2

2.001

2.01

2.1

2.5

3

2

F(x)

2

3

4

4.5

4.9

4.99

4.999

 5

5.001

5.01

5.1

5.5

6

7

Como puede observarse, cuando tiende a 2 por la izquierda la función tiende a 5 y cuando x tiende a 2 por la derecha, también la función tiende a 5, por lo que se concluye que:

Note lo siguiente:

Al decir se acerca a 2 o tiende a  2 significa que x nunca valdrá ese número pero se aproximará lo mas que se pueda.